講座 6.1 · 全25講座中 20番目
正定値性
正定値性をエネルギーとして読み、SVDを回転・拡大・回転に分けます。
アニメーションを開く01 · Story
この場面で確かめること
説明と演算の順序を追い、最後の場面にどのような数学的証拠が残るかを確認してください。
- 01
対称行列Aは全ての非零方向でxᵀAxが正なら正定値です
- 02
xは元の位置に残し、複製した入力へAを作用させて別の結果Axを作ります
- 03
xとAxを同時に表示し、その内積でこの方向のエネルギーを測ります
- 04
dot(x, Ax) = 14 > 0です
これは一つの方向の例です - 05
任意の非零ベクトルu = (a,b)について全方向をまとめて確かめます
- 06
uᵀAu = 2a² + 2ab + 2b² = (a+b)² + a² + b² > 0です
したがってAは全ての非零方向で正となる正定値行列です
02 · Notebook
実際に動くノート
以下の原文が数学オブジェクトを作り、演算とアニメーションの順序を決めます。読んだ後、同じ場面を自分で再生できます。
2d
zoom 4/5
coordinates on
2 1 #A
1 2
// 対称行列{{A}}は全ての非零方向で`xᵀAx`が正なら**正定値**です
checkpoint 正定値性 · 1
1, 2 #x@
// {{x}}は元の位置に残し、複製した入力へ{{A}}を作用させて別の結果`Ax`を作ります
A * x #Ax@
// {{x}}と{{Ax}}を同時に表示し、その内積でこの方向のエネルギーを測ります
dot(x, Ax) #energy@
// `dot({{x}}, {{Ax}}) = 14 > 0`です\nこれは**一つの方向の例**です
focus x Ax
checkpoint 正定値性 · 2
focus -
clear
field board
A +
// 任意の非零ベクトル`u = (a,b)`について全方向をまとめて確かめます
// `uᵀAu = 2a² + 2ab + 2b² = (a+b)² + a² + b² > 0`です\nしたがって{{A}}は全ての非零方向で正となる**正定値行列**です03 · 第6講
この単元の講座
正定値行列とSVD — 正定値性をエネルギーとして読み、SVDを回転・拡大・回転に分けます。