第 6.1 节 · 共 25 节，第 20 节
正定性
把正定性理解为能量，把SVD拆成旋转、缩放、旋转。
打开互动动画01 · Story
在这个场景中要验证什么
沿着说明与运算顺序，确认最终场景中保留了哪些数学证据。
- 01
若对称矩阵A在每个非零方向上都有xᵀAx>0，它就是正定矩阵
- 02
保留原位置的x，把复制的输入经过A，生成独立的结果Ax
- 03
让x和Ax同时可见，再用内积测量这个方向的能量
- 04
dot(x, Ax) = 14 > 0
这只是一个方向的例子 - 05
现在令u = (a,b)为任意非零向量，一次检查所有方向
- 06
uᵀAu = 2a² + 2ab + 2b² = (a+b)² + a² + b² > 0
因此A在每个非零方向上都为正，是正定矩阵
02 · Notebook
实际运行的笔记
下面的原文会创建数学对象，并决定运算与动画顺序。阅读后，你可以亲自播放同一个场景。
2d
zoom 4/5
coordinates on
2 1 #A
1 2
// 若对称矩阵{{A}}在每个非零方向上都有`xᵀAx>0`，它就是**正定矩阵**
checkpoint 正定性 · 1
1, 2 #x@
// 保留原位置的{{x}}，把复制的输入经过{{A}}，生成独立的结果`Ax`
A * x #Ax@
// 让{{x}}和{{Ax}}同时可见，再用内积测量这个方向的能量
dot(x, Ax) #energy@
// `dot({{x}}, {{Ax}}) = 14 > 0`\n这只是**一个方向的例子**
focus x Ax
checkpoint 正定性 · 2
focus -
clear
field board
A +
// 现在令`u = (a,b)`为任意非零向量，一次检查所有方向
// `uᵀAu = 2a² + 2ab + 2b² = (a+b)² + a² + b² > 0`\n因此{{A}}在每个非零方向上都为正，是**正定矩阵**03 · 第6课
本单元课程
正定矩阵与SVD — 把正定性理解为能量，把SVD拆成旋转、缩放、旋转。